半群和幺半群
半群
Haskell 区别于传统软件设计的另一个重要方式是可组合性的理念。可组合性意味着您可以通过组合两个相似的事物来创建新的事物。
组合函数。一个特殊的高阶函数— compose，它采用两个函数作为参数。使用函数组合对于以可读的方式动态组合函数特别有帮助。以下是一些可以使用函数组合轻松表达的函数示例。
myLast :: [a] -> a
myLast = head . reverse
myMin :: Ord a => [a] -> a
myMin = head . sort
myMax :: Ord a => [a] -> a
myMax = myLast . sort为了进一步探索可组合性，我们看一个非常简单的类型类，称为 Semigroup。为此需要在文件顶部导入 Data.Semigroup
Semigroup 类只有一个重要方法，即 <> 运算符。您可以将 <> 视为组合相同类型实例的运算符。您可以通过将 <> 定义为 + 来简单地实现 Integer 的 Semigroup。
instance Semigroup Integer where
(<>) x y = x + y(<>) :: Semigroup a => a -> a -> a
这个简单的签名是可组合性思想的核心；你可以把两个相似的东西组合起来，得到一个相同类型的新东西
实例：
data Color = Red |
Yellow |
Blue |
Green |
Purple |
Orange |
Brown deriving (Show,Eq)
instance Semigroup Color where
(<>) Red Blue = Purple
(<>) Blue Red = Purple
(<>) Yellow Blue = Green
(<>) Blue Yellow = Green
(<>) Yellow Red = Orange
(<>) Red Yellow = Orange
(<>) a b = if a == b
then a
else Brown当添加两种以上的颜色时会遇到一个有趣的问题。b本意希望颜色混合具有关联性。关联意味着应用 <> 运算符的顺序并不重要。对于数字，这意味着 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3。如您所见，但目前颜色显然不具有关联性：
GHCi> (Green <> Blue) <> Yellow Brown GHCi> Green <> (Blue <> Yellow) Green
这条关于关联性的规则不仅具有直观意义（以任何顺序混合颜色应该给出相同的颜色），而且这是 Semigroup 类型类的正式要求
重新实现:
instance Semigroup Color where
(<>) Red Blue = Purple
(<>) Blue Red = Purple
(<>) Yellow Blue = Green
(<>) Blue Yellow = Green
(<>) Yellow Red = Orange
(<>) Red Yellow = Orange
(<>) a b | a == b = a
| all (`elem` [Red,Blue,Purple]) [a,b] = Purple
| all (`elem` [Blue,Yellow,Green]) [a,b] = Green
| all (`elem` [Red,Yellow,Orange]) [a,b] = Orange
| otherwise = Brown具有恒等性的组合：幺半群
定义
与 Semigroup 类似的另一个类型类是 Monoid 。 Semigroup 和 Monoid 之间的唯一主要区别是 Monoid 需要类型的单位元素。单位元素意味着 x <> id = x（还有 id <> x = x）。因此，对于整数相加，单位元素将为 0。但在当前状态下，您的 Color 类型没有单位元素。拥有标识元素可能看起来只是一个小细节，但它允许您使用fold函数轻松组合相同类型的列表，从而极大地增强了类型的功能。
class Semigroup a => Monoid a where
identity :: aMonoid 应该是 Semigroup 的子类，因为它只是具有identity的 Semigroup。但 Monoid 早于 Semigroup，并且并不是 Semigroup 的正式子类。相反，Monoid 的定义令人困惑。
class Monoid a where
mempty :: a
mappend :: a -> a -> a
mconcat :: [a] -> a为什么是mempty的而不是identity？为什么用mappend而不是<>？出现这些奇怪的命名是因为 Monoid 类型类是在 Semigroup 之前添加到 Haskell 中的。最常见的 Monoid 是列表。空列表是列表的identity，++（追加运算符）是列表的 <> 运算符。 Monoid 方法的奇怪名称只是 m（代表 Monoid）附加到常见列表函数上：empty、append 和 concat。在这里可以比较对列表执行相同identity操作的这三种方法：
GHCi> [1,2,3] ++ []
[1,2,3]
GHCi> [1,2,3] <> []
[1,2,3]
GHCi> [1,2,3] `mappend` mempty
[1,2,3]mconcat：一次组合多个 Monoid
要了解恒等式的强大功能，最简单的方法是探索 Monoid 定义中的最后一个方法：mconcat。 Monoid 中唯一需要的定义是 mempty 和 mappend。
根据mconcat的类型定义 mconcat :: Monoid a => [a] -> a, mconcat的方法作用是获取 Monoid 列表并将它们组合起来，返回一个 Monoid。
实际定义 mconcat = foldr mappend mempty
举例：
GHCi> mconcat [“does”,” this”,” make”,” sense?”] “does this make sense?”
幺半群定律
就像 Semigroup 一样，也有 Monoid 类型的类法则。有四种：
第一个是mappend mempty x = x。请记住，mappend 与 (++) 相同，而 列表中mempty 是 []，这直观地意味着
[] ++ [1,2,3] = [1,2,3]
第二个只是第一个，顺序相反：mappend x mempty = x。在列表形式中，这是
[1,2,3]++[]=[1,2,3]
第三个是mappend x (mappend y z) = mappend (mappend x y) z。这只是关联性，对于列表来说：
[1] ++ ([2] ++ [3]) = ([1] ++ [2]) ++ [3]
因为这是半群定律，所以如果 mappend 已经实现为 <>，则可以假定该定律，因为它是半群定律所要求的。
第四个就是我们对mconcat的定义：
mconcat = foldr mappend mempty
mconcat 使用foldr 而不是foldl 的原因是foldr 可以处理无限列表，而foldl 会强制计算。